微分

一元函数微分

定义：设函数$y=f(x)$在点$x_0$的邻域内有定义。若函数的增量 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$可以表示为

$$\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$

其中，$A$ 是与$\mathrm{\Delta }x$ 无关的常数，$o(\mathrm{\Delta }x)$是比 $\mathrm{\Delta }x$ 高阶的无穷小量。则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处是可微的，称$A\mathrm{\Delta }x$为 函 数 在 点 $x_0$ 处的微分，记为$dy{\mid }_x=x_0$ ,即

$$dy{\mid }_{x=x_0}=A\mathrm{\Delta }x$$

微分的几何意义是描述函数在某一点的变化率，即函数在该点的导数

判定

一元函数可微$\iff$可导 （充分必要条件）

计算

$$A=f^{\prime }(x).dy=f^{\prime }(x)dx$$

A为$f(x)$在这一点的导数，微分就等于这一点的导数乘以自变量的改变量

二元(多元)函数全微分的定义

定义：如果函数 $z=f(x,y)$在定义域 $D$ 的内点$(x,y)$ 处全增量 $\mathrm{\Delta }z=f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)$可表示成

$$\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\rho ),\rho =\sqrt{{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2+{\left(\mathrm{\Delta }y\right)}^2}$$

其中 $A,B$ 不依赖于$\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$,仅与 $x,y$有关，则称函数 $f(x,y)$在点$(x,y)$可微$,A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$ 称为函数 $f(x,y)$ 在点$(x,y)$的全微分，记作

$$\mathrm{d}z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$$

若函数在域 $D$ 内各点都可微，则称此函数在D 内可微.

判定

可微$\Rightarrow$可导（偏导数存在） 可导 不能推出 可微

可微$\Rightarrow$连续

计算

$$f_x(x,y)=A$$$$f_y(x,y)=B$$

定理1(必要条件) 如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，则该函数在点$(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$与$\frac{\partial z}{\partial y}$必定存在，且

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{\Delta }y$